Волновое уравнение и его решение

Вот чисто математическая проблема:

уравнение вида , где  – функция координат и времени,  и  константы, называется волновым уравнением.

Не будем решать уравнение в частных производных, а я сейчас предъявлю одно важное частное решение, и будет доказано, что оно действительно является решением.

Утверждение. Функция вида  удовлетворяет волновому уравнению (частное решение). Космические скорости Для запуска ракет в космическое пространство надо в зависимости от поставленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космическими.

Частное решение, вообще-то, угадывается и проверяется методом тыка. Вот, мы сейчас подставим это решение в уравнение и проверим. Что уравнение утверждает? Что вторая производная по времени от этой функции совпадёт с пространственными производными.

Пишем: , .

Вот чем замечательна комплексная экспонента: можно было бы записать действительные синусы и косинусы, но дифференцировать экспоненты гораздо приятнее, чем синусы и косинусы.

Дальше: .

, значит, . Опять замечательная вещь: оператор  действует на функцию , эта функция просто умножается на , тогда немедленно находим повторное действие оператора: .

Подставим в исходное уравнение: , отсюда получаем . 3g интернет

Мораль такая: функция вида  удовлетворяет нашему уравнению, но только при таком условии:

.

Это факт математический. Нам остаётся сообразить теперь, что эта функция изображает.

Если перейти в действительную область, то есть взять сужение этого множества функций на класс действительных функций, это будет решение такого типа: . Чтобы не мучиться с тремя переменными, можно это дело упростить: пусть , тогда . Заметим, что это никакое не ограничение общности, ось х мы всегда можем выбрать вдоль вектора . Мы получили функцию от двух переменных: . А теперь будем смотреть, что эта функция представляет.

Делаем мгновенную фотографию: фиксируем момент времени  и смотрим пространственную конфигурацию.

Период синуса 2π, ясно, когда х меняется на λ – длину волны (пространственный период), то синус должен измениться на 2π, мы имеем такое соотношение: . Мы проинтерпретировали константу k – волновое число, а вектор – волновой вектор. Эта мгновенная фотография показывает, как функция зависит от пространства.

Теперь будем следить за временным изменением, то есть сидим в точке х и смотрим, что делается с функцией  со временем. Фиксируем , тогда , значит, в фиксированной точке опять синусоидальная функция времени. Мы имеем, поскольку период синуса 2π, , то есть мы проинтерпретировали константу ,  называется частотой.

Пакетная визуализация

Обычно при визуализации отдельных кадров достаточно воспользоваться командой Render Current Frame (Визуализировать текущий кадр). Однако, как вы видели в главах 4 и 11, в окне диалога Render Globals (Общие параметры визуализации) можно настроить параметры визуализации таким образом, чтобы этот процесс затрагивал определенный набор кадров. Затем остается воспользоваться командой Batch Render (Пакетная визуализация) меню Render (Визуализация). В результате кадры будут визуализированы в соответствии с их порядковыми номерами и сохранены в виде фильма в формате AVI или в виде набора статичных изображений. Если выходной файл должен быть представлен в виде фильма, обычно предпочтительней использовать визуализацию в виде набора статичных изображений, потому что в этом случае удастся избежать проблем, возникающих в результате сжатия и неоправданно большого размера выходного файла. Пакетная визуализация является фоновым процессом, позволяющим параллельно работать с программой. Если в компьютере два процессора, в окне диалога Batch Render Options (Параметры пакетной визуализации) можно указать, чтобы один процессор использовался для пакетной визуализации, а второй — для выполнения прочих задач. При этом имейте в виду, что таким способом можно визуализировать только один проект за один раз.
Посмотреть, какая стадия процесса визуализации выполняется в данный момент, можно в правой части командной строки. Для получения более детальной информации, например, как показано на рис. 14.1, щелкните на кнопке Script Editor (Редактор сценариев), расположенной справа от командной строки.